Question

第一张图画波浪线的地方，这个计算的结果和我在第二张图中的计算结果为什么不一样呢？

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Answer 1

下面标记的过程有误！如图

我们只是要讨论去掉绝对值，在(π/4,5π/4)内显然，sinx是比cosx要大的，可以画出他们的图像来看。所以绝对值去掉时，应该是sinx-cosx.

注意，我们要去掉绝对值，只是讨论sinx,-cosx的符号，而不是去看sinx,cosx的正负号！注意这一点！

追问

但是sinx-cosx的原函数的确是-cosx-sinx，这该怎么理解呢？

Answer 2

你的错误总结：原函数没错，但是定积分上下限代入求值时正负号错误。

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－cosx－sinx：如果定积分上限代入，cosx和sinx都是负，那么结果应该是正的。除非算的时候把正值代入，结果才会是负的。

5π/4是在第三象限，所以cos5π/4和sin5π/4都是负的，而你算的时候是正的，所以本来第二个定积分是2√2，你算的结果变成了0。本应该是：√2+√2，你算成了-√2 + √2 。

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后面上限2π代入：sin2π+cos2π=0+1=1，你算的时候变成了-1。

后面跟前面错误同理：cos5π/4和sin5π/4都是负的，所以都是- √2/2，因为是下限代入前面有负号，负负得正最后结果是：√2。