Question

不定积分第二换元法的三角代换的使用

请问∫1 / x^2•√a^2-x^2 dx 能不能用第二换元法的三角代换 来计算啊？谢谢
要自己计算过了 再下定论哦 不要敷衍我哦

Answer 1

一、√(a²-x²) 通常用x=a*sint ，t的范围取-π/2≤t≤π/2，这样可以保证cost恒≥0；或x=a*cost 换元，t的范围取0≤t≤π，这样可以保证sint恒≥0。
二、√(x²-a²)通常用x=a*sect ，∵x²-a² = a²sec²t-a²
= a²(sec²t-1) = a²(sec²t-1) = a²tan²t
sec函数和tan函数的连续区域一致，t的范围取0≤t≤π/2，sect的值从1~+∞，对应tant的值从0~+∞，也可以直接去掉根号，无需讨论正负。
三、总结：只要换元为三角函数后的角度变量取值合适，这两种换元都可以无需讨论去掉根号后的正负问题。

Answer 2

∫1 / [x²•√(a²-x²)] dx嘛？可以
设 x=asint (-π/2 < t < π/2)
则∫ 1 / [x²•√(a²-x²)] dx
=∫ 1 / [a²sin²t • cost] d(asint)
=∫ 1/(a•sint²)dt
=1/a∫csc²t dt
=-1/a • cott + C

如果题目不是这样的，肯定也能做的~
另外，不定积分的答案不唯一~所以即使做出来和答案写的不一样也没关系~只要做对了就可以了