Question

求:一道关于导数的数学题

f(x)=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n ， 则f′(x)= ？

请写过程，谢谢！

Answer 1

f(x)=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n
可以看出是等比数列，
当1+x=1时，x=0,此时，f(x)=n,f'(x)=0
当1+x不等于1时
f(x)=(1-(1+x)^n)/(-x)
f'(x)=n(1+x)^(n-1)/x^2
f(x)=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n
f′(x)= 1+2(1+x)+3(1+x)^2+4(1+x)^3+…+n(1+x)^(n-1)
(x+1)f′(x)= (1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+…+n(1+x)^n
上两式相减得
xf′(x)= -1-(1+x)-(1+x)^2-(1+x)^3…-(1+x)^(n-1)+n(1+x)^n
=[1-(1+x)^n]/x+n(1+x)^n
f′(x)= [1-(1+x)^n]/x^2+n(1+x)^n/x
f'(x)=1(1+x)^0+2(1+x)^1+3(1+x)^2+4(1+x)^3+……+n(1+x)^(n-1)

1,2,3,……，n是等差数列。
(1+x)^0，(1+x)^1，……(1+x)^(n-1)是等比数列。

所以考虑用错位相减……

(1+x)f'(x)=1(1+x)^1+2(1+x)^2+……+(n-1)(1+x)^(n-1)+n(1+x)^n

两式相减
[1-(1+x)]f'(x)=(1+x)^0+(1+x)^1+……+(1+x)^(n-1)-n(1+x)^n（等比数列求和）
=[1-(1+x)^n]/[1-(1+x)]-n(1+x)^n
=[(1+x)^n-1]/x-n(1+x)^n
所以
f'(x)=[1-(1+x)^n]/(x^2)+[n(1+x)^n]/x

Answer 2

f'(x)=1(1+x)^0+2(1+x)^1+3(1+x)^2+4(1+x)^3+……+n(1+x)^(n-1)

1,2,3,……，n是等差数列。
(1+x)^0，(1+x)^1，……(1+x)^(n-1)是等比数列。

所以考虑用错位相减……

(1+x)f'(x)=1(1+x)^1+2(1+x)^2+……+(n-1)(1+x)^(n-1)+n(1+x)^n

两式相减
[1-(1+x)]f'(x)=(1+x)^0+(1+x)^1+……+(1+x)^(n-1)-n(1+x)^n（等比数列求和）
=[1-(1+x)^n]/[1-(1+x)]-n(1+x)^n
=[(1+x)^n-1]/x-n(1+x)^n
所以
f'(x)=[1-(1+x)^n]/(x^2)+[n(1+x)^n]/x

Answer 3

f(x)=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n
可以看出是等比数列，
当1+x=1时，x=0,此时，f(x)=n,f'(x)=0
当1+x不等于1时
f(x)=(1-(1+x)^n)/(-x)
f'(x)=n(1+x)^(n-1)/x^2

Answer 4

f(x)=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n
f′(x)= 1+2(1+x)+3(1+x)^2+4(1+x)^3+…+n(1+x)^(n-1)
(x+1)f′(x)= (1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+…+n(1+x)^n
上两式相减得
xf′(x)= -1-(1+x)-(1+x)^2-(1+x)^3…-(1+x)^(n-1)+n(1+x)^n
=[1-(1+x)^n]/x+n(1+x)^n
f′(x)= [1-(1+x)^n]/x^2+n(1+x)^n/x