Question

跪求高数证明题！ 证明不等式:(1+x)ln(1+x)>arctanx (x>0) 需要证明详细步骤 跪谢！！！！！！

Answer 1

(1+x)ln(1+x)=∫[1+ln(1+x)]dx
arctanx=∫1/(1+x^2)dx(注意:积分上下限是x,0)
由于x>0,故1+ln(1+x)和1/(1+x^2)都为正数.
所以只要证1+ln(1+x)>1/(1+x^2)就可以了.
1+ln(1+x)>1/(1+x^2)
<==>(1+x^2)+(1+x^2)ln(1+x)>1
<==>x^2+(1+x^2)ln(1+x)>0
显然成立,故原不等式成立.

Answer 2

设f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx (x>0)

Answer 3

2楼的证明有误,不定积分一般不能进行值比较,应化为定积分且积分限应一致,
(1+x)ln(1+x)=∫[1+ln(1+x)]dx, (积分上下限为x,0)
arctanx=∫1/(1+x^2)dx (积分上下限为x,0)
此时比较1+ln(1+x)和1/(1+x^2)的大小.
要证明上式,可用微分学的知识,设f(x)=1+ln(1+x)-1/(1+x^2),f(0)=0,
df/dx=1/(x+1)+2x/(x^2+1)>0,f(x)单调增,f(0)=0,故x>0时f(x)>0.
此时1+ln(1+x)>1/(1+x^2)得证.
故得(1+x)ln(1+x)>arctanx

Answer 4

导数应用问题
先构造一个函数，令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx,可知它在x>-1时连续可导
对其求导得到f'(x)=ln(1+x)+1-1/(x^2+1)=ln(1+x)+x^2/(x^2+1)>0
故f(x)单调递增，于是x>0时有f(x)>f(0)=0
即(1+x)ln(1+x)-arctanx>0，移项便得到结论