Question

微分与全微分有什么联系和区别？

Answer 1

这两个概念有联系也有区别.
区分：
以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息,
那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.这是一个直接的概念.而所谓的全微分,则是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小.
(你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).
拓展资料：
全微分方程，又称恰当方程。若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。
微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。
如果函数z=f(x,
y)
在(x,
y)处的全增量
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
其中A、B不依赖于Δx,
Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x,
y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,
y)在点(x,
y)处的全微分，记为dz即
dz=AΔx
+BΔy
该表达式称为函数z=f(x,
y)
在(x,
y)处(关于Δx,
Δy)的全微分。
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。
动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。