Question

5.设+z=xf(x+y,x^2+y^2)+,其中f具有二阶连续偏导数,求(^2z)/(xy)？

Answer 1

首先，根据多元函数的求导法则和复合函数的求导法则，有：
∂z/∂x = f(x+y,x^2+y^2) + xf_x(x+y,x^2+y^2) + f_y(x+y,x^2+y^2)
∂z/∂y = f(x+y,x^2+y^2) + xf_x(x+y,x^2+y^2)
其中，f_x 表示 f 对第一个变量 x 的偏导数，f_y 表示 f 对第二个变量 y 的偏导数。
对第一个式子关于 y 求偏导数，对第二个式子关于 x 求偏导数，有：
∂²z/∂x∂y = f_x(x+y,x^2+y^2) + xf_xy(x+y,x^2+y^2) + f_yx(x+y,x^2+y^2)
∂²z/∂y∂x = f_x(x+y,x^2+y^2) + xf_xy(x+y,x^2+y^2)
将两个偏导数相加，得到：
∂²z/∂x∂y + ∂²z/∂y∂x = 2f_x(x+y,x^2+y^2) + 2xf_xy(x+y,x^2+y^2)
将该式乘以 xy 并带入原式，有：
xy(∂²z/∂x∂y + ∂²z/∂y∂x) = 2xyf_x(x+y,x^2+y^2) + 2x^2yf_xy(x+y,x^2+y^2)
因此，有：
(^2z)/(xy) = (∂²z/∂x∂y + ∂²z/∂y∂x)/2

= f_x(x+y,x^2+y^2) + xf_xy(x+y,x^2+y^2)

这就是所求的答案。