12求二元三次函数 f(x,y)=x^3+y^3 在x+y-l=0条件下的极值.
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由x+y-1=0,得y=1-x,
x^3+y^3=x^3+(1-x)^3
=1-3x+3x^2
=3(x-1/2)^2+1/4,
x=y=1/2时它取最小值1/4.
x^3+y^3=x^3+(1-x)^3
=1-3x+3x^2
=3(x-1/2)^2+1/4,
x=y=1/2时它取最小值1/4.
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d(x+y-1)=dx+dy=0, dy=-dx
df=3x^2dx+3y^2dy=3x^2dx-3y^2dx=3(x^2-y^2)dx=0，x^2-y^2=0
又 x+y=1，解得：x=y=1/2，可能唯一极值点（1/2，1/2）
f(1/2, 1/2)=1/4 < f(1, 0)=1 ∴f(x,y)min=f(1/2, 1/2)=1/4
df=3x^2dx+3y^2dy=3x^2dx-3y^2dx=3(x^2-y^2)dx=0，x^2-y^2=0
又 x+y=1，解得：x=y=1/2，可能唯一极值点（1/2，1/2）
f(1/2, 1/2)=1/4 < f(1, 0)=1 ∴f(x,y)min=f(1/2, 1/2)=1/4
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