Question

矩阵转置矩阵秩相等吗?

Answer 1

矩阵乘矩阵的转置的秩=矩阵的秩。证明如下：

设 A是 m×n 的矩阵 　　　　

可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)
　　　　

1、Ax=0 是 A'Ax=0 的解。
　　

2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0，故两个方程是同解的。
　　　　

同理可得 r(AA')=r(A')
　　

另外 有 r(A)=r(A')
　　　　

所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

扩展资料：

矩阵的基本运算

矩阵的基本运算为：加、减、乘法及数乘。

加、减法及数乘比较简单，加法就是相同位置的数字加一下，减法也类似。矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。

但是乘法就比较复杂了，计算规则是：

矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。

参考资料来源：百度百科-转置矩阵