Question

一半径为R，电荷量为Q的均匀带点球体，设无穷远处电势为0，求球心相对球体表面的电势？

一半径为R，电荷量为Q的均匀带点球体，设无穷远处电势为0，求球心相对球体表面的电势？

Answer 1

我们可以通过计算球心与球体表面的电势差来求得球心相对于球体表面的电势。首先，我们需要计算球体表面的电势。根据静电学知识，对于一个均匀带电球体，其外部场与一个点电荷场相同。因此，球体表面的电势可以通过下面的公式计算：
V_surface = k * Q / R
其中，k 是静电常数（约为 8.99 * 10^9 N·m^2/C^2），Q 是电荷量，R 是球体半径。
接下来，我们需要计算球心的电势。对于均匀带电球体，其内部场的电势分布是线性的。当我们从表面到球心时，电势会线性增加。为了计算球心的电势，我们需要找到内部场的电势增长率。根据高斯定理，球体内部的场强 E 与半径 r 的关系为：
E(r) = k * Q * r / (4/3 * pi * R^3 * epsilon_0)
其中，epsilon_0 是真空介电常数（约为 8.85 * 10^-12 C^2/N·m^2），r 是从球心到指定点的距离。为了找到电势增长率，我们需要将场强 E(r) 除以 r：
dV/dr = E(r) / r = k * Q / (4/3 * pi * R^3 * epsilon_0)
然后，我们需要将电势增长率乘以从表面到球心的距离 R：
delta_V = (dV/dr) * R = k * Q / (4/3 * pi * R^2 * epsilon_0)
现在我们可以计算球心相对于球体表面的电势：
V_center = V_surface + delta_V
V_center = k * Q / R + k * Q / (4/3 * pi * R^2 * epsilon_0)
将 k、Q 和 R 代入公式，即可得到球心相对于球体表面的电势。