Question

求方程xdy+dx=e^y dx的通解

移位：
dy/（1-e^y）+dx/x=0
∫（1+（e^y/（1-e^y））dy）+∫1/x dx=0
y-ln（1-e^y）+lnx+c=0

以上是我的算法
但答案是：
e^y-1=Cxe^y

我哪里算错了？？
可不可以不把C合并到x去？直接+c，习惯了这么看现在C弄进去感觉混乱啊……

Answer 1

xdy+dx=e^y dx
xdy=(e^y-1)dx
dy/(e^y-1)=dx/x
[-(e^y-1)+e^y]dy/(e^y-1)=dx/x
-dy+e^ydy/(e^y-1)=dx/x

∫[-1+（e^y/（e^y-1）]dy=∫1/x dx+c1
-y+ln(e^y-1)=lnx+ln(e^c1)
-y+ln(e^y-1)=lncx
-y=lncx-ln(e^y-1)
y=ln(e^y-1)-lncx
=ln[(e^y-1)/cx]
e^y=(e^y-1)/cx
e^y*cx=e^y-1
e^y-1=Cxe^y 所以结果正确。

Answer 2

一开始就错
应该是得
dy/（e^y-1）+dx/x=0
然后利用
1/(e^y-1)=[-1+e^y/(e^y-1)]
e^ydy=d(e^y-1)
得
-y+ln(e^y-1)+lnx+C=0
然后再换算成e^y-1=Cxe^y

Answer 3

rt