Question

对面积的曲面积分的计算方法

Answer 1

对面积的曲面积分的计算方法如下：

第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和积分没有关系。

只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分没有任何关系。

第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算。

因为是在曲面上进行积分，所以曲面方程Z=Z(x, y)可以直接带入方程中。带入后消去了z，曲面积分转变成了在D（曲面在xoy上的投影）上的二重积分。

被积函数若是关于x的奇函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于0；若被积函数若是关于x的偶函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于二倍的对yoz前边曲面上的积分。若对于y、z也有奇偶性，同理。

向量值的函数

曲面积分在数学上的定义为在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也即，返回数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也即，返回向量值的函数）积分。

举个例子：设有一构件占空间曲面Σ，其质量分布密度函数为（密度分布）ρ（x，y，z），求构件的质量。同样，对于密度不均匀的物件，也不可以直接利用ρS（这里的S代表的是面积）处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题，就需要利用曲面积分。