对面积的曲面积分的计算方法
对面积的曲面积分的计算方法如下:
第一类曲线积分,可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做,但是单纯的第一类曲线积分和积分没有关系。
只有通过转化为第二类曲线积分后,要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件,可以用公式转化为简单的曲面积分,再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算,这是第一类曲线积分和二重积分关系,但是第一类曲线积分和三重积分没有任何关系。
第一类曲面积分,可以通过公式变换,将dS转化为dxdy,直接转化为二重积分来做,但是和三重积分没有任何关系,只有通过转化为第二类曲面积分,满足了高斯公式条件,才能用高斯公式转化为三重积分来计算。
因为是在曲面上进行积分,所以曲面方程Z=Z(x, y)可以直接带入方程中。带入后消去了z,曲面积分转变成了在D(曲面在xoy上的投影)上的二重积分。
被积函数若是关于x的奇函数,且积分曲面关于yoz前后对称,那么该积分等于0;若被积函数若是关于x的偶函数,且积分曲面关于yoz前后对称,那么该积分等于二倍的对yoz前边曲面上的积分。若对于y、z也有奇偶性,同理。
向量值的函数
曲面积分在数学上的定义为在曲面上的定积分(曲面可以是空间中的弯曲子集);它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面,可以在上面对标量场(也即,返回数值的函数)进行积分,也可以对向量场(也即,返回向量值的函数)积分。
举个例子:设有一构件占空间曲面Σ,其质量分布密度函数为(密度分布)ρ(x,y,z),求构件的质量。同样,对于密度不均匀的物件,也不可以直接利用ρS(这里的S代表的是面积)处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题,就需要利用曲面积分。