Question

z变换的性质

Answer 1

Z变换（ZT）是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解，它在离散系统中的地位如同拉普拉斯变换在连续系统中的地位，Z变换已成为分析线性时不变离散系统问题的重要工具，并且在数字信号处理 、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

双边变换： \begin{align} X(z)=\mathcal{Z}\left\{ x[n]\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \end{align}。

单边变换： \begin{align} X(z)=\mathcal{Z}\left\{ x[n]\right\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n} \end{align}。

由信号与系统(4)——离散时间傅里叶变换中讲解的DTFT的表达式：

\begin{align} X(e^{jw})&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn} \end{align}

可以得到Z变换与DTFT之间的关系，即X(e^{jw})=X(z)|_{z=e^{jw}}

故DTFT是单位圆上的Z变换！