Question

一道初三函数题，数学高手来看下

已知：y=ax^2+bx+c与x轴交予A,B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB,OC的长（OB<OC）是方程x^2-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2
（1）求A,B,C3点的坐标
（2）求此抛物线的表达式
（3）求△ABC的面积
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A,点B不重合），过点R作EF‖AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S于m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得
0＝36a－6b＋80＝4a＋2b＋8 解得a＝－23b＝－83
∴所求抛物线的表达式为y＝－23x2－83x＋8
（3）∵AB＝8，OC＝8
∴S△ABC ＝12×8×8=32
（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10
∵EF‖AC ∴△BEF∽△BAC
∴EFAC＝BEAB 即EF10＝8－m8 ∴EF＝40－5m4
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝45
∴FGEF＝45 ∴FG＝45·40－5m4＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝12（8－m）×8－12（8－m）（8－m）
＝12（8－m）（8－8＋m）＝12（8－m）m＝－12m2＋4m
自变量m的取值范围是0＜m＜8
（5）存在． 理由：
∵S＝－12m2＋4m＝－12（m－4）2＋8 且－12＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．