Question

k为何值时,关于x的方程x^2+2(k+3)x+2k+4=0的两个实数根一个大于3,另一个小于3?

速度啊！！！

Answer 1

不算太复杂的问题，关键是理解下面的思考过程，理解了就不难了
分析：
第一种思路：数形结合
设y＝x^2＋2(k＋3)x＋2k＋4
则其图象是一条开口向上的抛物线(因为二次项系数大于0)
作直线x＝3
如果抛物线与直线x＝3的交点在X轴下方，
那么抛物线一定与X轴有两个交点，设左交点为A(X1,0)，右交点为B(X2,0)
显然，A、B两点中A在直线X＝3左边，B在直线X＝3右边
即X1＜3，X2＞3
而根据二次函数与一元二次方程的关系知：X1、X2就是方程x^2＋2(k＋3)x＋2k＋4＝0的两个实数根
因此解决本题只要找出抛物线与直线x＝3的交点在X轴下方所需要的条件
而要上述条件成立，只要当X＝3时，Y＜0即可
所以由9＋6(k＋3)＋2k＋4＜0 解得 k＜－31/8 就是本题的答案。
(因为开口向上，当X＝3时Y＜0成立时，已经包含判别式△＞0的条件，不需要另外考虑)

第二种思路：代数方法
设方程x^2＋2(k＋3)x＋2k＋4＝0的两个根为M、N。
要使两个根中一个大于3,另一个小于3
只要M－3和N－3中一个为正，另外一个为负就可以
也就是只要(M—3)(N—3)＜0
化简上式得MN—3M—3N＋9＜0
即MN—3(M＋N)＋9＜0
而根据根与系数的关系得：MN＝2k＋4，M＋N＝－2(k＋3)
所以：2k＋4—3[－2(k＋3)]＋9＜0
解得：k＜－31/8
而判别式△＝4(k＋3)^2－4(2k＋4)＝4k^2＋16k＋20＝(2k＋4)^2＋4＞0
所以无论k取何值原方程总有两个根
所以当k＜－31/8时，关于x的方程x^2＋2(k＋3)x＋2k＋4＝0的两个实数根一个大于3,另一个小于3

江苏吴云超祝你学习进步

Answer 2

解如图,由抛物线的性质知,开口向上

又由△=b²-4ac=4(k+3)²-4(2k+4)=4[(k+2)^2+1]>0 

4k^2+16k+20=(2k+4)^2+4>0 

由x=3为分界,得

x^2+2(k+3)x+2k+4<0 

9+6k+18+2k+4 

=8k+31<0 得,

k<-31/8

这种题只要掌握抛物线对称轴,判别式,然后画出图就行,不要写得太多,这样的话太哆嗦了.老师也不喜欢,精简点为好.我们老师改卷也怕看了.

Answer 3

根据方程有两个根，则有判别式大于0，即：
[2(k+3)]^2-4(2k+4)>0;
化简可得到：
k^2+2k>0,
所以：k>0 or k<-2 .......(1)

根据函数两个实数根一个大于3,另一个小于3，说明f(3)<0,则：
9+2(k+3)*3+2k+4<0,可得到：
k<-31/8.....(2)

二者取交集为：k<-31/8.

Answer 4

我用MATLAB的符号给你解答不知道你看不看得懂
X的两个根设为X1,X2
令X1=-(k+3)+sqrt((k+2)^2+1),(注：其中sqrt为开根号的意思)
X2=-(k+3)-sqrt((k+2)^2+1)
第一种情况：
X1>3 & X2<3
当X1>3时：k<-31/8;当X2<3时：k取所有值,取k的交集为：k<-31/8。
第二种情况：
X1<3 & X2>3
当X1<3时：k>-31/8;当X2>3时：k不存在，所以第二种情况不可能出现。
因此当k<-6时，X一个大于3一个小于3.

Answer 5

初中奥数题吗?解法如下:
令f(x)=x^2+2(k+3)x+2k+4=0.解不等式f(3)<0,得k<--31/8.这就是k的取值范围.这是从该二次函数图像得到的解法.