Question

如何区分第一类曲线积分和第二类

Answer 1

一、方法不同

第一型曲面积分最基本的计算方法就是同第二型曲面积分一样, 也是化为二重积分。

第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。

而关于 P(x,y,z)dzdx 的积分, 也变为了 P(c,y,z)dydz 的积分, 然后结合方向就可以化为二重积分.。同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦是如此。

二、积分对象不同

第一类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。

三。应用场合不同

第一类曲线积分求非密度均匀的线状物体质量等问题，第二类曲线积分解决做功类等问题。

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别

对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。