Question

这个题，不用高斯公式以及两类曲线积分转化，直接用第二型曲面积分算能算吗？

Answer 1

可以用下面的公式：

∬∑f(x,y,z)dydz，其中∑为曲面S的投影区域，f(x,y,z)为S上的某个函数。

首先，需要先找到曲面S的投影区域。根据题目所给的抛物面方程，可知该曲面在xz平面上的投影是圆形，中心在原点，半径为根号下2。

接下来，需要计算∬S(x2+x)dydz和∬Szdxdy。

对于第一个积分式，将x2+x看作整体来处理，得到

∬S(x2+x)dydz = ∫∫D (x2+x)dydz，

其中D为在xz平面上的圆形区域。由于抛物面的方程是z=12(x2+y2)，所以有y2 = z - 12x2。因此，

∬S(x2+x)dydz = ∫∫D (x2+x)dydz
= ∫∫D (x2+x)√(1+(∂z/∂y)2+(∂z/∂x)2)dydx
= 2∫0∫√(2-x2)(x2+x)dxdy
= 2∫0π/2∫0√(2-sin2θ)(sin2θ+sinθcosθ)dθdr
= 8/3.

对于第二个积分式，由于抛物面处于平面z=0和z=2之间，因此，该积分式可以写成

∬Szdxdy = ∫∫D zdydx,
其中D为在xz平面上的圆形区域。同样地，由于抛物面的方程是z=12(x2+y2)，因此有

∬Szdxdy = ∫∫D (1/2)(x2+y2)dydx
= 1/2∫0π/2∫0√(2-sin2θ)r2sinθdrdθ
= 2/3.

最终，所求的第二型曲面积分为

∬S(x2+x)dydz - zdxdy = (8/3) - (2/3) = 2.