逆矩阵是否等于其转置矩阵的逆?
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一、首先,只有方形矩局滚阵才桐御余有矩阵的逆,而非方形的叫做“矩阵的伪逆”,此处只论方阵。其次只有当方阵的行列式不为0时,其逆矩阵才存在,故这里只讨论其行列式不为0的方阵(只要有任意一行或一列全文0的方阵,其行列式值为0,但不仅限于此)
答案为:若矩阵为方阵且其逆矩阵存在时,矩阵的逆的转置 等于 矩阵的转置的逆。
二、证明如下:①先算矩阵的逆的转置
②算此矩阵的转置的逆。
故矩阵A的逆的转置 等于 矩阵A的转置的逆。
三、即便是扩展到复数方阵也成立,复数方阵的逆不是简单的翻转,还要求对应元素的共轭复数。以下用MATLAB对3阶方阵该命题的证拆蠢明:
显然对于任意3阶方阵此命题成立!N阶不会操作,这个用于加强我的证明。
注意我说的“此命题”,是“一、”中的“答案”,不是提问。因为提问没有考虑矩阵的逆不存在的情况。
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