Question

在y轴上求一点,使其到直线l: x+y-1=0 z=0和平面 :x+2y-z+3=0 的距离相等？

Answer 1

求点到直线的距离和到平面的距离相等，是个关于点坐标的代数方程。
假设y轴上的点为P(0,y,0)，那么，我们需要求解的就是这样的y，使得点P到直线l的距离等于点P到平面的距离。
（1）点到直线的距离公式为：d1 = |Ax1+By1+C|/sqrt(A^2+B^2), 那么P到直线l的距离d1 = |(1*0 + 1*y - 1)/√(1^2 +(-1)^2)|= |y-1|/√2 ;
（2）点到平面的距离公式为：d2 = |Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2), 点P到平面的距离d2 = |(1*0 + 2*y - 1*0 +3) / √(1^2 + 2^2 + (-1)^2)|;

可得d2 = |2y + 3|/√6.
将两个距离相等，求得方程：|y-1|/√2 = |2y + 3|/√6;
化简求解后得y=-15或者y=9/5。