Question

如何理解积分上限的函数为偶函数和奇函数？

Answer 1

在0到2π上，cos(x)是一个偶函数，意味着它关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。因此，cos^2(x)也是偶函数，即cos^2(-x) = cos^2(x)。

根据余弦函数的定义，cos(0) = cos(2π) = 1，因此cos^2(0) = cos^2(2π) = 1。在0到2π上，cos^2(x)始终非负，因此可以将积分区间分为两个部分：0到π和π到2π。则有：

∫(0到2π) cos^2(x) dx = ∫(0到π) cos^2(x) dx + ∫(π到2π) cos^2(x) dx

在第一个积分中，可以应用三角恒等式cos^2(x) = (1+cos(2x))/2，得到：

∫(0到π) cos^2(x) dx = ∫(0到π) (1+cos(2x))/2 dx
= [x/2 + (sin(2x))/4] 从0到π
= π/2

在第二个积分中，同样可以应用三角恒等式cos^2(x) = (1+cos(2x))/2，得到：

∫(π到2π) cos^2(x) dx = ∫(π到2π) (1+cos(2x))/2 dx
= [x/2 + (sin(2x))/4] 从π到2π
= π/2

因此，

∫(0到2π) cos^2(x) dx = ∫(0到π) cos^2(x) dx + ∫(π到2π) cos^2(x) dx
= π/2 + π/2
= π

另一方面，sin(x)是奇函数，意味着sin(-x) = -sin(x)。因此，sin^2(x)也是奇函数，即sin^2(-x) = sin^2(x)。根据正弦函数的定义，sin(0) = sin(2π) = 0，因此sin^2(0) = sin^2(2π) = 0。

因此，有：

∫(0到2π) sin^2(x) dx = ∫(0到2π) [1-cos^2(x)] dx
= 2π - ∫(0到2π) cos^2(x) dx
= 2π - π
= π

因此，

∫(0到2π) cos^2(x) dx = ∫(0到2π) sin^2(x) dx = π

因此，在0到2π上，cos^2(x)的定积分等于sin^2(x)的定积分。