Question

求解高数微积分题一道！需要详细解题步骤 万分感激！！！！！！！！

设图形由y=lnx,y=0,x=1,x=e所围成。1.求图形的面积A 2.求图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积V.

Answer 1

面积S=∫lnxdx(上限e，下限1)=xlnx-∫xd(lnx)=xlnx-∫x*(1/x)dx=xlnx-x代入上下限可得
S=e*lne-e-1*ln1+1=1

曲线x=g(y)围绕y轴旋转的旋转体体积V=π∫[g(y)]^2dy
y=lnx,x=e^y
V=π∫(e^y)^2dy(上限lne,下限ln1)
=π∫e^(2y)dy
=π*e^(2y)/2代入上下限
V=(π/2)*(e^2-1)

求体积应该是这个公式，如果你有高数书，最好看着书做，书上有类似的例题

Answer 2

解;
(1)
由定积分的知识可知道:
所求的面积是
积分:(1,e)lnxdx
=xlnx-积分:(1,e)dx
=(xlnx-x)|(1,e)
=1

(2)
绕x轴旋转后的体积公式是:
V=pi*积分:(a,b)[f(x)]^2dx
如果是绕y轴旋转的话,
被积分函数应该改为以y为自变量的函数,
设为g(y)
上下限也要变
则体积是
V=pi*积分:(c,d)g(y)dy

还有一个公式是:
V=2pi*积分:(a,b)xf(x)dx

根据该公式有:
V=2pi*积分:(1,e)xlnxdx
=2pi*[x^2lnx-积分;(1,e)xdx]
=2pi*[x^2lnx-1/2*x^2]|(1,e)
=(e^2+1)*pi

如果是绕x轴旋转的话,则是:
由旋转体体积公式可知道:
所求的体积:
V=pi*积分:(1,e)(lnx)^2dx
=pi*[x(lnx)^2-积分;(1,e)2lnxdx]
=pi*[x(lnx)^2-2[xlnx-积分:(1,e)dx]]
=pi*(x(lnx)^2-2xlnx+2x)|(1,e)
=(e-2)*pi

Answer 3

A=∫lnXd_x 积分范围(1-e)

V=∫2x*π*lnXd_x 积分范围(1-e)

将体积化为一围来求：

在X处的微小体积元为底面积乘以X处的高（2x*π*d_x）*lnX

则体积只需在X上从1积分到e即可