Question

数列极限定义中，ε的取值

为了表示无限接近的意思，ε该取为任意小的正数，那么只能在0<ε<1的范围内取任意小的正数 ，才能表达无限接近的意思，如果ε取大于1的数，不能表达无限接近的意思，这样理解对吗？
思念那条鱼：
我没有把ε理解为一个具体的数
“既然0<ε<1时成立，毫无疑问，ε>=1时也成立。 ”看到这句话，我的疑问反而增加了，您的意思好像是说如果|Xn-a|<ε,而ε<ε+1,那么毫无疑问，|Xn-a|<ε+1，不错，如果从纯粹的不等式看，确实是这样，但您这样理解显然是错的，因为ε<ε+1，所以只有ε才能表示Xn与a的距离更小，那么只有比ε更小的数才能表示他们距离更接近，而不是比ε大的数。要想表达无限接近，只有当前所选择的ε更小的数才能表达，而不是比ε大的数。

Answer 1

这样理解不全面。因为表达无限接近，不能用一个确定的数。要理解这个问题，关键是理解ε的实质。
（1）：ε具有任意性，因为既然表达任意接近，那么ε可以任意取正值，惟其可以任意取值，才可准确表达极限定义中“无限接近”的含义。但为了突出“无限接近”通常取0<ε<1，这是因为，多说人对用0<ε<1表示无限接近，心理上比较容易认可，便于接受；再者，既然0<ε<1时成立，毫无疑问，ε>=1时也成立。
（2）ε具有确定性，一旦取定了某个ε的值，就把它暂时看做确定的，以便由它确定相应的⊿(应为小写希腊字母德尔塔）。
至于你说的“如果ε取大于1的数，不能表达无限接近的意思”，这个问题本身就值得商榷，因为，证明函数的极限是某个常数时，不能把ε取定为某个具体的正数，不管它大于0小于1，还是大于等于1，只要取定一个具体数，就是不允许的，也是错误的。但如果是证明某个常数不是某个函数的极限，却可以取定一个具体正数ε（比如，取ε=1/2，1/3,甚至ε=2，3……也未尝不可）。

既然你没有把它当成一个具体数，那么根据你的需要，你可以作任何假设，因为它可以代表任意的正数。

Answer 2

可以这样说