Question

已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上 直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q

且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程

Answer 1

根据题意，假设P和Q的坐标分别为：(a,a+1),(b,b+1);

根据条件绝对值PQ=2分之根号10，可得到：
5/2=(a-b)^2+[(a+1)-(b+1)]^2
化简可得到：
4（a-b）^2=5,....(1)

根据OP⊥OQ ，可得到他们的斜率的乘积为-1，即：
(a+1)/a * (b+1)/b=-1,
2ab+a+b+1=0....(2)

解方程组可得到：
P（(-1-√5)/4,,(3-√5)/4）, Q((-3-√5)/4,(1-√5)/4)

假设椭圆的方程为：x^2/m^2+y^2/n^2=1,将上述两点代入椭圆方程，并解出方程可得到m^2和n^2,进而可得到椭圆的方程。

Answer 2

设椭圆方程：aX^2+by^2=1 (a、b>0)
两交点为p(x1,x1+1),Q(x2,x2+1)
联立直线方程消去y：(a+b)X^2+2bx+b-1=0。
利用交点弦公式:|PQ|=根(1+k^2)*根((x1+x2)^2-4x1x2)=根10/2；
利用韦达定理
=>(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16
再由垂直=>(x1,x1+1)·(x2,x2+1)=0=>利用韦达定理的a+b=2
带入(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16=>ab=3/4
=>a=3/2;b=1/2或a=1/2,b=3/2;
=>椭圆方程为：
3(x^2)/2+(y^2)/2=1
或(x^2)/2+3(y^2)/2=1