Question

f(x)是定义于R上的函数，满足两个条件f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)。。。)

f(x)是定义于R上的函数，满足两个条件：
（1）f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)
f(x)在[0，1]上单调递增；
问：
（1）f(1)=1;
（2）f(x)的奇偶性
（3）f(2x-1)≥1/2的解集

Answer 1

(1)令x=0,y=0则f(0)=f(0)f(1)+f(1)f(0)
即f(0)=2f(0)f(1) 解得f(0)=0或者f(1)=1/2
令x=1,y=0 则得f(1)=f(1)f(1)+f(0)f(0)
上步解出f(0)=0或者f(1)=1/2
所以当f(1)=1/2时代入上式得：f(0)=1/2
，即f(0)=f(1)这与f(x)在[0，1]上单调递增矛盾，所以f(1)=1/2舍去。
当f(0)=0时，代入得：f(1)=0(同样不是递增的，舍去）或者f(1)=1
故得：f(1)=1

（2）f[x+(-x)]=f（x)f(1+x)+f(1-x)f(-x) (*)
又f(1+x)=f(1)f(1-x)+f(0)f(x)
因为f(0)=0，f(1)=1,所以f(1+x)=f(1-x)
代入（*）式，得
f(0)=0=f(1+x)[f(x)+f(-x)]
显然f(1+x)不等于0，所以f(x)+f(-x）=0,所以奇函数。

Answer 2

（1）f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)，f(x)在[0，1]上单调递增；令x=0，y=1，f(1)=f²(0)+f²(1)，得 f(0)=0，f(1)=1；（2）在 f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)中，令 y=1，得 f(x+1)=f(1-x)；再令 y=-x 得 0=f(0)=f(x)*f(x+1)+f(1-x)*f(-x)，有了这两式，由归纳法易得 f(x) 是奇函数，以4为最小正周期在 [-1,1]严格增加，在 [1,3] 严格减少。（3）在 f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y) 中，令x=y=1/3，得f(1/3)=1/2，所以 f(2x-1)≥1/2的解集为 {x|2k+2/3≤x≤2k+4/3,k为任意整数}。

Answer 3

令x=0,y=0
f(0)=f(0)f(1)+f(1)f(0) 若f(0)=0,那么f(1)任意，不合f(x)在[0，1]上单调递增，所以 f(0)不等于0，，f(1)=1/2
另y=1 x=0 f(1)=f(0)f(0)+f(0)f(1) f(0)=-1

另y=0

Answer 4

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