Question

求半径为R的球内接正三棱锥体积最大值

Answer 1

设球的内接正三棱锥为P—ABC，则P、A、B、C都在球面上，由对称性可知棱锥的高PD经过球心O，设正三棱锥的底面边长为a，高PO=h. 则
AD=2/3*√3/2a=√3/3a
延长PD交球于E，则∠PAE=90°，AD⊥PE.由AD2=PD•DE得1/3a2=h(2R－h) ∴a2=3h(2R－h)
V=1/3S⊿ABC*h=1/3*√3/4a^2h=1/3*√3/4*3h^2(2R-h)= √3/4h^2(2R-h)

=√3/8[h*h(4R-2h)]≤√3/8*(4R/3)^3=8√3/27R^3
当且仅当h=4R－2h 即h=4/3R时上式等号成立.
故当正三棱锥的高为4/3R时，有最大体积8√3/27R^3
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/15510358.html?fr=qrl3

Answer 2

设底面三角形重（内、外）心至顶点距离为m,三棱锥高h,m^2=(2r-h)h,
底面正三角形高=3m/2,
底边长=√3/3*3m/2*2=√3m,
底面积=√3m*（3m/2）/2=3√3m^2/4,
棱锥体积v=s△*h/3=3√3m^2/4*h/3=3√3/4*h*(2r-h)h/12
=3√3rh^2/2-3√3h^3/4
v'=3√3rh-9√3h^2/4,令v'=0,驻点h=4r/3，
v"=3√3r-9√3h/2，当h=4r/3时，该点二阶导数小于o,h=4r/3有最大值，
棱锥体积v=3√3r*(4r/3)^2/2-9√3*(4r/3)^3/4
=16√3r^3/9