Question

根号（4-x^2）在（-1，1）上的定积分是多少（怎么算的）

Answer 1

先求出不定积分：

f(x)=∫√(4-x^2)dx 查看积分表可得到：
=x/2*√(4-x^2)+2arcsinx/2+c

定积分=2[f(1)-f(0)]=2[(1/2)*√(4-1)+2arcsin(1/2)]-0=2(√3/2+2*π/6)=2(π/3+√3/2)=√3+2π/3 ;

至于不定积分∫√(a^2-x^2)dx
=x/a*√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c 的求法步骤如下;

假设：x=asint,则：dx=acostdt,sint=x/a;
∫√(a^2-x^2)dx
=∫√[a^2-(asint)^2*acostdt
=∫√(a^2cos^2t)*acostdt
=∫a^2cos^2tdt
=(a^2/2)∫(cos2t+1)dt
=(a^2/2)t+(a^2/4)∫cos2td2t
=(a^2/2)t+(a^2/4)sin2t+c;

sint=x/a,则：cost=√(a^2-x^2)/a;可得到：
t=arcsin(x/a),
sin2t=2sint*cot=2*x/a*√(a^2-x^2)/a=2x√(a^2-x^2)/a^2;
代入上式可得到：

∫√(a^2-x^2)dx
=(a^2/2)*arcsin(x/a)+(a^2/4)*2x√(a^2-x^2)/a^2+c;
=(a^2/2)*arcsin(x/a)+(x/2)√(a^2-x^2)/a^2+c;
=x/a*√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c

Answer 2

sinx乘以根号下(1-x^2)为奇函数
积分区间为对称区间
sinx乘以根号下(1-x^2)在-1,1上的定积分=0

Answer 3

如果按常规的方法去求,首先求出原函数,再利用NEWTON-LEIBNITZ公式计算.
√(4-x^2）的原函数是-x/2√(4-x^2）+2arcsin(x/2)+C
利用NEWTON-LEIBNITZ公式计算得
-1/2√(4-1^2）+2arcsin(1/2)-1/2√(4-1^2）-2arcsin(-1/2)
=-√3+4π/6=-√3+2π/3

Answer 4

漏看了根号两个字，不好意思