Question

一道关于高一数学等比数列前n项和的题目。

如图，设正三角形ABC的边长为20cm，取BC的中点E，作正三角形BDE；取边DE的中点G，作正三角形DFG；如此继续下去……求所得的前20个正三角形的面积和。

Answer 1

第1个三角形面积是第2个三角形面积的4倍，第2个三角形面积也是第3个三角形面积的4倍，依此类推，20个正三角形面积是一个等比数列，公比q=1/4。算出来第一个三角形面积a1,带入等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)就行了。

Answer 2

假设第1个面积为1，那么第2个为1/4 。第20个为1/4^19
面积和为S
S=1 ++1/4 + 1/16 + ……1/4^19
4S=4 +1 + 1/4 + 1/4^18
3S=4- 1/4^19 S = 4/3 - 1/3×4^19

而第1个面积=100√3

前20个正三角形的面积和=400√3/3 - 100√3/3×4^19

Answer 3

边成等比数列，公比是1/2,数列依次是20、10、5、5/2........10*(1/2)^n-2
当n=20时，第20项是10*（1/2)^18
正三角形面积公式是(√3/4)x^2
100√3+25√3+........+100√3*2^-37=400√3/3 - 100√3/3×4^19