Question

1/k(k+1)(k+2)=1/2k+1/(k+1)+1/2(k+2)的拆法

1/k(k+1)(k+2)=1/2k+1/(k+1)+1/2(k+2)是怎么拆出来的？
我看书上就一步 有什么公式 或者定理嘛？

Answer 1

通常用待定系数法拆成部分分式和

分母已经完全因式分解了，直接可以拆成部分分式和
1/k(k+1)(k+2) = C1/k + C2/(k+1) + C3/(k+2)
通分后，分子是关于k的二次式P2(k)，系数中含三个未知数C1、C2、C3
分别比较分子关于k的二次项、一次项、常数项系数
可以得到三元一次线性方程组
//在本例中，二次项系数=0，一次项系数=0，常数项系数=1
可解得C1、C2、C3

一般地，对关于x的分式P_m(x)/Q_n(x)（其中m,n是多项式P,Q的次数）
可以拆成以分母的完全因式为分母的部分分式和
若m>n为假分式，可以做分式除法：
P_m(x)/Q_n(x) = S_(m-n)(x) + R_r(x)/Q_n(x)
其中S_(m-n)(x)为其商，R_r(x)为其余数，且r<=n
因此，不失一般性，可只讨论真分式，有m<=n。

将Q_n(x)在实数范围内分解因式，有：
Q_n(x) = ∏(i,j){(x-a_i)^r_i*(x^2+b_jx+c_j)^s_j}
其中a_i为Q_n(x)的r_i重实根，b_j和c_j对应s_j重的Δ<0（共轭复根）的因式
且幂次数之和∑(i,j){r_i+2s_j}=n为Q_n(k)的次数

则P_m(x)/Q_n(x)可以分解为以下几种形式的待定系数部分分式和：
若分母中出现一次因式(x-a_i)：可拆成A_i/(x-a_i)的部分分式，A_i为待定系数；
若分母中出现多重一次因式(x-a_i)^r_i：可拆成F_(r_i-1)(x)/(x-a_i)^r_i，其中分子为关于x的(r_i-1)次多项式，
譬如若坟墓中出现二重一次因式(x-a)^2，则部分分式的形式为(A_ix+D_i)/(x-a)^2，其中A_i、D_i是待定系数；
若分母中出现Δ<0的二次因式(x^2+b_jx+c_j)：可拆成(B_ix+C_i)/(x^2+b_jx+c_j)的部分分式，其中B_i、C_i是待定系数；
若分母中出现Δ<0的多重二次因式(x^2+b_jx+c_j)^s_j：可拆成G_(2s_j-1)(x)/(x^2+b_jx+c_j)^s_j，其中分子为关于x的(2s_j-1)次多项式。

真分式可以拆成上述四种形式的部分分式的和
由于各部分分式其分子的最高次数为分母的次数r_i-1或2s_j-1，所以单个部分分式含有r_i或2s_j个待定系数，共n个待定系数。
通分后，与等号左边的分子P_m(x)比较各次项系数，得到m个方程（若m<n，更高次比较系数方程的用0补足），可解得各个待定系数。

Answer 2

没有什么公式或定理。你可以反过来想想，当多个分式相加或相减时我们一般的做法就是通分。所以反过来，分母为几个因式相乘的分式时就可以分解为以各个因式做分母的分式之和。为了确保值不改变，所以我们还需要适当的把每个分解出来的因式乘上一个适当的常数（这个常数可能是整数也有可能是分数,有可能是正数也有可能是负数）。以你的题目为例，1/k(k+1)(k+2)的分母为k,(k+1),(k+2)乘积，所以就可以分解为c1*(1/k)+c2*[1/(k+1)]+c3*[1/(k+2)]，而c1,c2,c3根据通分的原理可以很快的确定。
这个说起来好像很复杂，其实题目做多了就可以自然而然的迅速分解了。

Answer 3

你题目有问题吧
应该是1/k(k+1)(k+2)=1/2k-1/(k+1)+1/2(k+2)
用待定系数法就可以了
设1/k(k+1)(k+2)
=a/k+b/(k+1)+c/(k+2)
=[a(k+1)(k+2)+b(k+2)k+c(k+1)k]/k(k+1)(k+2)
=[(a+b+c)k^2+(3a+2b+c)k+2a]/k(k+1)(k+2)
等式两边相等，则(a+b+c)k^2+(3a+2b+c)k+2a=1
所以有
a+b+c=0
3a+2b+c=0
2a=1
a=1/2 b=-1 c=1/2

Answer 4

应该是1/k(k+1)(k+2)=1/2k-1/(k+1)+1/2(k+2)
用待定系数法就可以了
设1/k(k+1)(k+2)
=a/k+b/(k+1)+c/(k+2)
=[a(k+1)(k+2)+b(k+2)k+c(k+1)k]/k(k+1)(k+2)
=[(a+b+c)k^2+(3a+2b+c)k+2a]/k(k+1)(k+2)
等式两边相等，则(a+b+c)k^2+(3a+2b+c)k+2a=1
所以有
a+b+c=0
3a+2b+c=0
2a=1
a=1/2 b=-1 c=1/2 ....................

Answer 5

你应该龙错了中间的符号应该是‘-’把
其实就是利用1/k(k+1)=1/k-1/(k+1)化简的