Question

如图所示,,在三角形ABC中,AB=AC.P是三角形内的一点,且角APB大于角APC,求证:PB小于PC

不要用余弦定理啊,初二的题目

Answer 1

在三角形外取一点D，使AP=AD，BP=CD

因为AB=AC

所以△APB≌△ACD

∠APB=∠ADC

∠APD=∠ADP

因为∠APB＞∠APC

所以∠APB-∠APD＞∠APC-∠ADP

即∠CPD＞∠PDC

因为大边对大角

所以CP＞CD=BP

Answer 2

假设PB>=PC
则角BCP>=角CBP
因为AB=AC
所以角ACB＝角ABC
所以角ACP<=角ABP
又因为角APB>角APC
所以角BAP<角CAP
因为AB＝AC
AP为公共边
所以由余弦定理可得
PC>PB
与假设不符
所以PB<PC

Answer 3

可以不用余弦定理的！
作点D使DC=PA，角ACD=角ABP。连接AD、DP、PC
易证三角形ABP与三角形ACD全等
所以AD=AP，即角ADP=角APD，
因为角ADC=角APB>角APC
所以角CDP>角CPD
即CP>CD
即PB<PC

Answer 4

证：
在三角形ABC外侧，作角BAD=角CAP，且AD=AP,连接BD，PD
因为 角BAD=角CAP，AD=AP，AB=AC
所以 三角形ABD全等三角形ACP
所以 角ADB=角APC，BD=PC
因为 角APB>角APC
所以 角APB>角ADB
因为 AD=AP
所以 角ADP=角APD
所以 角APB-角APD>角ADB-角ADP
所以 角BPD>角BDP
所以 BD>BP
所以 PB<PC

Answer 5

解：(1)∵△ABC为等腰三角形且AB=AC
∴等腰三角形ABC的对称轴为BC的中垂线所在的直线
设AD垂直BC与D，则AD平分∠BAC、BC，则只要作出∠BAC的平分线；
①以A为圆心，AB上任意一条线段AE为半径画弧与AC交于F点；
②分别以E、F为圆心，任意长为半径分别画弧且两段弧相交于O点；
③连接AO并作AO所在的直线，则此直线为三角形ABC对称轴；
以A为圆心，AP为半径画弧与AC交于Q，则Q为P关于AO的对称点；
(2)∵P、Q关于直线AO对称 又∵三角形ABC关于直线AO对称
∴AP=AQ ∵AB=AC、AP=AQ、∠PAC=∠QAB
∴△PAC全等于△QAB
∴CP=BQ