Question

一道超级难的初中数学竞赛题,,关于三角函数

已知等腰三角形ABC, AB,AC是腰,BC是底边,AD是BC边上的高

请问:为什么
COSA=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*AC) ？ ？？？？

还有，竞赛书上说：0＜SinA＜1 0＜CosA＜1 0＜角A＜90
可是老师说A可以是90度，SINA 和COSA可以是0和1
是谁说错了？
谁说错了,为什么?

而且我知道余旋是领边比斜边,,上边那个式子我不懂分析,(AB^2+AC^2-BC^2)代表什么?(2AB*AC)呢?

各位大侠看了题目可以在纸上画一下草图.

Answer 1

这是余弦定理的推论 

平面几何证法： 

在任意△ABC中 

做AD⊥BC. 

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 

根据勾股定理可得： 

AC^2=AD^2+DC^2 

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB 

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB 

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

向量证法：（图是向量的）（参考资料：向量 高中人教版教材必修4  余弦定理 高中人教版教材必修5）

  证明：

  ∵如图，有a→+b→=c→

  ∴c·c=(a+b)·(a+b)

  ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

  整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

  再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

  同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

Answer 2

过点C作AB的垂线，垂足为E.

在直角三角形ACE内，直角边AE和斜边AC满足下面的等式。
AE = AC*COSA.

又，由勾股定理，
CE^2 = AC^2 - AE^2。

在直角三角形BCE中，斜边BC和2个直角边CE,BE满足勾股定理。
BC^2 = CE^2 + BE^2
= [AC^2 - AE^2] + BE^2
= AC^2 - AE^2 + BE^2
= AC^2 - AE^2 + (AB - AE)^2
= AC^2 - AE^2 + AB^2 + AE^2 - 2AB*AE
= AC^2 + AB^2 - 2AB*AE
= AC^2 + AB^2 - 2AB*AC*COSA,

所以，
COSA = (AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*AC)

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当角A是三角形ABC的内角时，0 < 角A < 180度。
0 < SINA <= 1. 【当角A=90度时，SINA=1.其他情形，0<SINA<1.】
-1 < COSA < 1.【当角A=90度时，COSA=0.其他情形，COSA不等于0.】
【当90度< 角A < 180度，角A是钝角时，-1 < COSA < 0.】
【当0度< 角A < 90度，角A是锐角时，0 < COSA < 1】

当三角形ABC是锐角三角形时，0 < 角A < 90度。
0 < SINA < 1. 0 < COSA < 1.

当三角形ABC是钝角三角形，并且角A是最大的角时，90度 < 角A < 180度。
0 < SINA < 1. -1 < COSA < 0.

当三角形ABC是钝角三角形，并且角A不是最大的角时，0度 < 角A < 90度。
0 < SINA < 1. 0 < COSA < 1.

当三角形ABC是直角三角形，并且角A是最大的角时，角A = 90度。
SINA = 1. COSA = 0.

当三角形ABC是直角三角形，并且角A不是最大的角时，0度 < 角A < 90度。
0 < SINA < 1. 0 < COSA < 1.

Answer 3

海伦公式

Answer 4

COSA=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*AC) 是余弦公式。

老师说A可以是90度，SINA 和COSA可以是0和1 是对的

Answer 5

老师对，这是余弦定理，证明方法有很多，比如向量，很容易证的，用电脑打不出来。。。你去搜余弦定理吧。sin cos都是在[-1,1]的，图像差了pi/2

Answer 6

COSA=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*AC)
余弦公式的变一下就是了,
0＜SinA＜1 0＜CosA＜1 0＜角A＜90
严格的说是老师错了,但是他说的也不无道理了,他用近似观点看问题.角A在接近0度和决90度时,SINA 和COSA可以是0和1 他说的是可以,可以就是在某些要求不严格的情况下.他的观点也是正确的,我们不能片面看问题,希望你能喜欢,祝你学业有成