Question

排列组合中的几个经典问题求高手解决！

1 从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有多少种？

注：我这里形如 C42 表示的就是从4个元素中取出2个元素的组合数

参考书的答案：情况有两甲一乙和两乙一甲情况，所以 C42 × C51 + C41 × C52 = 70种

其中书上特别提醒了不能出现 C41 × C51 × C71 = 140 的错误，这样会有重复。可是我怎么怎么想他说的这个错误算法都是对的啊？？但是他的正确算法我又看的懂，也是对的，那我就真郁闷了...世界上最奇妙的事情莫过于此，请世界上最强的高手来帮我详细解释其中的思维过程和原因。

2.一个口袋内有大小相同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，使其中含有一个黑球，共有多少种取法？

参考书的答案： C72 = 21 种。

看到这里我又郁闷了，他这里的意思是3个球里面有一个是黑球，则还要从7个白球里面再取出2个，所以C72。也就说他已经是把取出一个黑球当作为一个条件，作为一个必然事件而不用考虑取黑球的概率了。那么既然如此，为什么第一题里面“其中至少要有甲型与乙型电视机各一台”这个条件不能把它当作为一个必然发生的条件，然后直接C71搞定呢？世界上第二奇怪的事情莫过于此了，请世界上第二强的高手为我解释，并说明什么情况下条件可以当作必然事件概率直接用1算，而什么情况下不能？

以上两大离奇事件必须回答，而且希望是详细的解释说明，能让我瞬间理解的我狂追加分！后面这2个副送问题可答可不答，答了更能说明您的强大！

1.空间中有8个点，有且只有4点共面，则共可确定多少个平面？

答案：C83 - C43 + 1 = 53 （个）

请分析为什么要 + 1 。

2.安排5个班去4个工厂，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法有几种？

答案：240种。请分析过程。

Answer 1

书上特别提醒了不能出现 C41 × C51 × C71 = 140 的错误
因为按这样算有个顺序的问题 先甲1后乙1再抽一个，不妨叫是甲2
那么先甲2后乙1再甲1，与先甲1后乙1再甲2 被当作不同的了，
但实际上你是一次抽出，不存在顺序问题。

实际上应该C72C11 = 21 ，并不是说已经是把取出一个黑球当作为一个条件，所以也就没有什么必然事件的问题了

C83 - C43 + 1 = 53
-C43 就把那4点共面的那个面全部减掉了，你是不是还应该补上那个面啊

你可以 先从5人中找出2个绑在一起有C52=10种
再全排列有A44=4！=24
24*10=240

还有不懂的可以问我

Answer 2

如果楼主学过概率就会很清楚了.
设条件C由两部分组成: C=A+B,如果A和B不相关,则
P(C)=P(A)*P(B)
这是概率学的一个基本定律,当AB相关的时候上式不成立.
相关的数学定义是: P(A|B)=P(A)*P(B).
其中P(A|B)表示A在条件B下的概率,也可以理解为AB同时发生的概率.
相关的物理含义是相互影响,如果两个事件没有相互影响则它们是不相关的.回到题目来看先取定一个黒球,该操作对后续的取两个白球没有影响,我们说这两个步骤是不相关的;先在甲乙中各取一台,后续再取一台甲或乙的条件就会发生变化(前后取2个是个排列问题,而一次取2个是个组合问题),这两个步骤是相关的.
总结如下:如果条件所涉及的对象与后续步骤的对象无重合,则整体概率等于条件概率乘于后续概率之积,反之则不能.
说明:这是一个无关的充分条件.如果两个操作的对象无重合则这两个操作显然不相关.例如选一个黒球,其操作范围是所有黒球,选2个白球是所有白球,两者无重合.在甲乙中各选一个其操作对象是甲乙的全体,在甲或乙中选一个其操作对象是全体的甲或全体的乙,两步骤的操作对象有重叠,即可能相关.
说这么多不知道有没有用.如果相关的概念不是很清楚的话楼主只需找操作对象即可分清了.

Answer 3

第一题：有一点你必须清楚--题中的意思是“4台甲型电视机和5台乙型电视机”这九台电视机各不相同，就像4个1班的人和5个2班的人一样，这一点你明白吧？按照你的想法：各挑出一个那就是(C41*C51)/2=10(因为有重复所以除以二)，然后再挑出一台呢C71=7,因此得到10*7=70
第二题：真正的算法是挑黑球C11，之后挑白球C72=21，相乘得21（因为黑球只有一个，所以只有一种选法，并不是“默认”）

Answer 4

1) 错误的实质在这是组合问题,而不是排列问题. C41 × C51 × C71 这里C71 被当成是排列了. 这和C42*C51的性质完全不同.

设想第三个取的是甲型, 但实际上纯粹是从4个甲中取2个,有6个, 按你的算法,就是4*3=12了.

C42×C51并不是排列，而是指任何2个甲型都可以和乙型形成一个组合。

2) 实际是C11*C72, 这里的 ×C72并不是排列，而是能每个黑球可以同任何从7个中取出的两个白球组合。