Question

在直角三角形ABC中，角C＝90度，AD是角A的平分线，CD＝1.5，BD＝2.5．求AC的长

Answer 1

方法一，如图：作DE⊥AB，则△ACD≌△AED，可得DE=CD=1.5，在直角三角形EBD中，根据勾股定理可得BE=2.设AC=AE=X，则在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得AC²+CB²=AB²，即X²+（1.5+2.5）²=（X+2）²，得X=3，即AC=3 

方法二：亦如图：根据角平分线定理，可得 AC/CD=AB/BD，即AC/1.5=AB/2.5 

得AB/AC=5/3 在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得AC²+CB²=AB²，设AC=3X，则AB=5X 代入上面等式中得 （3X）²++（1.5+2.5）²=（5X）²得X=1 

即AC=3X=3   ~

Answer 2

设,AC=m,∠CAD=∠DAB=a,
tan∠CBA=tan2a=BC/AC=4/m=(2tana)/(1-tan^2a),
而,tana=CD/AC=1.5/m,
∴(2*1.5/m)/[1-(1.5/m)^2]=4/m,
m^2=1/9,
m=1/3.
AC=m=1/3.