Question

求线性代数一道证明题目

证明2cosA 1 0 0 ... 0
1 2cosA 1 0 ... 0
0 1 2cosA 1 ... 0 = sin(n+1)A/sinA
... ... 1
0 ... ... 1 2cosA
有点乱，说明一下，主对角线上全是“2cosA”，平行于主对角线两侧全是“1”。

Answer 1

三对角矩阵啊,在数值分析,计算方法中经常见的矩阵.

用数学归纳法证明啊

假设此种行列式,k阶的记作Ak,

n=1时, A1=2cosA=sin2A/sinA显然成立.
n=2时,A2=4cosA^2-1
sin3A
=sin(2A+A)
=sin2A*cosA+cos2A*sinA
=2sinA*cosA^2+2cosA^2*sinA-sinA
=(4cosA^2-1)*sinA

所以: sin3A/sinA=4cosA^2-1=A2
n=2时也成立.

假设n<=k时成立,An=sin(n+1)A/sinA

则当n=k+1时
计算A(k+1):
将A(k+1)按照第一行展开,即:
A(k+1)
=2cosA*Ak-A(k-1)
=2cosA*sin(k+1)A/sinA-sinkA/sinA
=[2cosA*sin(k+1)A-sinkA]/sinA
=[2cosA*(sinkAcosA+coskAsinA)-sinkA]/sinA
=(2cosA^2*sinkA+2sinAcosAcoskA-sinkA)/sinA
=[(2cosA^2-1)sinkA+sin2AcoskA]/sinA
=(sinkAcos2A+coskAsin2A)/sinA
=sin(k+2)A/sinA

n=k+1 的情形得证.
根据归纳法原理,对任意的自然数n,An=sin(n+1)A/sinA.

OK