Question

求这一行列式解 要过程

a+b ab 0 0 ........0
1 a+b ab 0.........0
0 1 a+b ab 0......0
0 0 1 ............0
0 0........................ab
o 0....................1 a+b

这个怎么求啊。。。

Answer 1

设该行列式为n阶，并设为A（n）
则A(1)=a+b，A(2)=(a+b)^2-ab
对原行列式按第一列展开得
A(n)=（a+b）A(n-1)-abA(n-2)
变形可得
A(n)-bA(n-1)=a[A(n-1)-bA(n-2)]
=a^2[A(n-2)-bA(n-3)]
...
=a^(n-2)[A(2)-bA(1)]]
=a^n
所以A(n)=a^n+bA(n-1)
=a^n+b(a^(n-1)+bA(n-2))
...
=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+...+b^(n-2)[a^2-(a+b)]
=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+...+(a^2)b^(n-2)+ab^(n-1)+b^n

Answer 2

设其为A[n],则可得关于数列{A[n]}的等式：
A[n]=(a+b)*A[n-1]-ab*A[n-2];
A[1]=a+b,A[2]=a^2+b^2+ab;
A[n]-a(A[n-1])=b(A[n-1]-a*A[n-2])
=b^2(A[n-2]-a*A[n-3])=...=[b^(n-2)]*(A[2]-a*A[1])
=b^n;
∴A[n]-a(A[n-1])=b^n;
两边同时除以a^n,令B[n]=A[n]/a^n,得
B[n]-B[n-1]=(b/a)^n;
由此可求得B[n].
由此可得A[n]=B[n]*a^n
=[b^(n+1)-a^(n+1)]/(b-a)