Question

关于不等式问题（高手进，菜鸟就免了！）（顺带一个几何问题）

详见附图，我保证分数不会低，前提是你要做出来，哪怕一个也好。
请先看我原来问的问题，
http://zhidao.baidu.com/question/86568693.html?fr=msg
所以说菜鸟、不懂者一律免进！！！
那个题我悬赏了55分，可是还浪费了，这两个题的分数一定不会少。
“jihexuan”很抱歉，我忘上传题的图片了。可是你也应该看到原文题，我并不是让你用那个几何法证阿，我是想找其他方法。
请大家务必把要求读清楚
关于“theuestc”，不等式左边貌似忘打等号了，我知道是三个都相等阿，怎样证？

Answer 1

不等式:这是一个非常重要的变形方法,一般只要看到三角形三边这个条件这个方法就非常值得一试!

令 a = x + y , b = y + z , c = z + x.(由于是三角形三边长,肯定能找到相应的正实数x,y,z满足条件.)

我们有 x + y + z = 1/2. 注意到此时有平均值不等式 xyz <= 1/216

因此 F = a^2 + b^2 + c^2 + 4abc
= (x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 + 4(x+y)(y+z)(z+x)
= 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx) + 4(1/2 - x)(1/2 - y)(1/2 - z)
= 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx) + 4(1/8 - 1/4(x+y+z) + 1/2(xy + yz + zx) - xyz)
= 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx) + 2(xy + yz + zx) - 4xyz
= 2(x+y+z)^2 - 4xyz
= 1/2 - 4xyz

至此, F < 1/2 得证.
另一方面,由于 4xyz <= 1/54 ,因此 F >= 1/2 - 1/54 = 13/27.
至此, F >= 13/27 得证.

关于那个几何证明,我觉得其实很难找出比较巧的方法证明,这类定理往往都是需要一定计算量才能得出来的.更何况其实那方法计算量不能说很大.

Answer 2

四边形的余弦定理:
设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，对角线为m,n。求证:
(m*n)^2=(a*c)^2+(b*d)^2-2*a*b*c*d*cos(A+C).

布瑞须赖德尔(Bretschnelder,1808-1878)发现的四边形的余弦定理.
由四边形的余弦定理立即得到托勒密不等式:
a*c+b*d>=m*n.

四边形的余弦定理的证明.
证明 在AB,AD边上向外作△AKB∽△CDA, △ADM∽△CAB, 则有
AK=ac/m,AM= bd/m,KB=DM=ad/m。
因为 ∠KBD+∠MDB=∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CAB=180°
所以KB‖DM，四边形KBDM是平行四边形，KM=BD=n。
在△AKM中，由余弦定理得:
n^2=(ac/m)^2+(bd/m)^2-2(ac/m)*(bd/m)*cos(A+C)
上式两边同乘m即得四边形的余弦定理。 后面的题那我再算下。

Answer 3

不等式的最小值取三者相等即可，即都为三分之一。