Question

.跪求高等数学微分中值定理的高手。谢谢麻烦了

证明 若函数f(x)在（-∞，+∞）内满足关系式f’(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x

Answer 1

设F(x)＝e^(-x)f(x)，则F'(x)＝0，所以F(x)是常数，又F(0)＝1，所以F(x)＝1，得f(x)＝e^x

Answer 2

设g(x)＝e^(-x)f(x)，则g'(x)＝f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x),由f'(x)=f(x)代入上式得,g'(x)＝f(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)=0,
对任意的x,利用微分中值定理得
g(x)-g(0)＝g'(c)(x-0)=0,其中c在0和x之间,
故g(x)=g(0)=e^(-0)f(0)=1，
于是g(x)＝e^(-x)f(x)=1，即证得f(x)=e^x.

Answer 3

dy/dx=y
dy/y=dx
积分得
lny=x+c
y=e^(x+c)
f(0)=1
所以y=e^x