Question

一道高二数学导数题~拜托了

设函数f(x)=a^3+bx+c(a不等于0)为奇函数，其图像在（1，f(1)）处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f(x)最小值为-12
（1）求a、b、c的值
（2）求函数f(x)的单调区间，求函数在闭区间-1到3的最大值

Answer 1

奇函数
f(-x)=-ax^3-bx+c=-f(x)=-ax^3-bx-c
所以c=-c
c=0
f'(x)=3ax^2+b
x=1，f'(1)=3a+b
所以切线斜率是3a+b,
和x-6y-7=0垂直，所以斜率3a+b=-6

f'(x)=3ax^2+b有最小值则3a>0,且最小值=b=-12
所以a=2,符合3a>0
所以a=2,b=-12,c=0

f(x)=2x^3-12x
f'(x)=6x^2-12=0
x=-√2,x=√2,
x=√2在[-1，3]内
-1<=x<=√2时，f'(x)<0,f(x)是减函数
√2<=x<=3时，f'(x)>0,f(x)是增函数
这就是单调区间
所以f(√2)是极小值，
显然也是最小值
所以最大值在边界取道
f(-1)=10,f(3)=18
所以最大之=18

Answer 2

"函数f(x)=a^3+bx+c(a不等于0)为奇函数"这句话不成立。

Answer 3

奇函数 有 -f(x)=f(-x)
f(x)在x=1处的导数＝-6
还有一个方程是在导函数f(x)最小值为-12 处产生
于是可以求 abc