Question

an=n(n+1),sn=? 数学 题目 数列 求和 高中 高一

an=n(n+1),sn=? 数学 题目 数列 求和 高中 高一
都这么强？给谁好啊～再帮我做一道吧：a1=1+1 a2=1/a+4 a3=1/a^2+10 a(n)=1/a^(n-1)+(3n-2) 求Sn

Answer 1

首先，我们可以把这个求和分成两部分，一种是通项为n的，一种是通项为n的平方的。
an=n的求和为Sn=n(n+1)\2
an=n^2(n的平方）的求和是本体的重点，现在介绍两种常用的方法。

1，使用算术法推导：

我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1

(1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.............
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1

以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ... 此处引用：1 + 2 + 3 + .... + n = n(n + 1)/2

整理化简即可得到：

Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

2，用归纳法推导：
1）当n=1时，1^2=1*2*3/6=1，等式成立。
2）假设n=k时，1^2+2^2+3^2......+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立。
那么：
1^2+2^2+3^2......+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)/6*[k(2k+1)+6(k+1)]
=(k+1)/6*(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
等式也成立。
3）因为n=1等式成立，所以
1^2+2^2+3^2......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6恒成立

所以，可以知道an=n^2的求和为n(n+1)(2n+1)/6，所以，综合an=n的求和就可以得到an=n(n+1)的求和公式Sn=n(n+1)\2+n(n+1)(2n+1)/6
希望你能牢记an=n^2的求和公式，这对以后的解题会有很大的帮助的！
这里还告诉你两个公式，希望对你有帮助！
1，1的三次方+2的三次方+...+N的三次方=n^2(n+1)^2/4
2，1的四次方+2的四次方+...+N的四次方=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30

Answer 2

an=n(n+1)=n^2+n

Sn=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)/6*[2n+1+3]
=n(n+1)(n+2)/3

如果你会用1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6的话就用上面的。
如果不会，你还可以这样做。
n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n-1)]/3
所以Sn=[n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n-1)]/3+...+[1*2*3-0*1*2]/3
=n(n+1)(n+2)/3

Answer 3

解：因为an=n(n+1)，
所以an=n平方+n
即a1=1平方+1
a2=2平方+2
a3=3平方+3
……
an=n平方+n
所以Sn=（1平方+2平方+3平方+…+n平方）+
+（1+2+3+…+n）
=n（n+1）（2n+1）/6+n（n+1）/2
=n（n+1）（n+2）/3
补充题：
Sn=（1+1/a+1/a^2+…1/a^(n-1)+[1+4+10+…+(3n-2)]
=（a^n-1)/（a^n-a^n-1)+n（3n-1）/2

Answer 4

An=n^2+n
Sn=(1+2+3……+n)+(1^2+2^2+3^2+…n^2)
=n(n+1)/2 +(1/6)n(n+1)(2n+1)
前一个是等差，后一个也是常见数列，相关求和公式应该记得的。另外
1^3+2^3+3^3+…n^3=[n(n+1)/2]^2

Answer 5

因为an=n(n+1)=n^2+n
所以Sn=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)/6*[2n+1+3]
=n(n+1)(n+2)/3