Question

设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得到矩阵B，证明B可逆，并求AB￣1

Answer 1

1.A是n阶可逆矩阵,则A的行列式不等于零,A的第i行和第j行对换后得到矩阵B,矩阵B与矩阵A的行列式仅差一个符号,故矩阵B的行列式也不等于零,故矩阵B也可逆.
2.矩阵B是由A的第i行和第j行对换得到,故
B=I(i,j)A,其中I(i,j)是将单位阵I交换第i,j两行得的交换阵,
B^-1=A^-1*I(i,j)^-1=A^-1*I(i,j)(I(i,j)的逆是其自身)
AB^-1=AA-1*I(i,j)=I(i,j)
故AB^-1=I(i,j),即AB^-1等于单位阵I交换第i,j两行得的交换阵.

Answer 2

矩阵可逆的其中一个定义(性质)就是n个行向量不相干，所以对换后还是不相干，因此B可逆。

C=A*B(-1)的话，那么CB=A，然后C就很好求了。答案应该是In的(i,i)和(j,j)的位置换成0，然后(i,j)和(j,i)换成1。