Question

求几个简单的转动惯量的推论方法

J=mr^2/2 转轴为直径的圆环
J=mr^2/2 转轴过中心并垂直盘面的圆盘
J=m/2(r1^2+r2^2) 转轴沿几何轴的圆筒，外半径为r2,内半径为r1
J=mr^2/2 转轴沿几何轴的圆柱，长度为l，切面半径为r
J=mr^2/4+ml^2/12 转轴通过中心与圆柱垂直的圆柱，长度为l,切面半径为r
J=ml^2/12 转轴通过中心的细棒，长度为l
J=ml^2/3 转轴通过一端与棒垂直的细棒，长度为l
J=2/5mr^2 转轴沿直径的球体
J=2/3mr^2 转轴沿直径的薄球壳

以上所有分数都为系数，指数都是2，因为电脑打不出来所以有点混乱不好意思……
我要的是一般方法，老师说是用多重积分做的但是没有给具体方法，（如果微元法的话请注明一下以什么为微元的，谢谢。）自己推不出来，望各位大侠帮忙，拜谢！
——————————

那个注明一下……我要的是推导的过程，我积分过了积不出来……

Answer 1

1. 负载转动惯量计算 
        转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。 对于杆：
      当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12
                                      其中m是杆的质量，L是杆的长度。    当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3
                                      其中m是杆的质量，L是杆的长度。 对于圆柱体：
   当回转轴是圆柱体轴线时；J=m*r^2/2,
                        其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 对于长方体：
   当回转轴是长方体高度轴线时；J=（a^2+b^2)*m/12 ，
                        其中m是圆柱体的质量，ab是长方体边长。 转动惯量定理：  M=Jβ
                   其中M是扭转力矩                 J是转动惯量
                   β是角加速度=△ω/△t 
                   w=2πn/60,n是转速，单位rad/min

2. 负载启动转矩 
   转矩 T=J*V/R
   J--转动惯量 J=(m.R^2)/2
   V--线速度   v=π*d*n/60=3.14*D*n/60  (m/s) n—转速，R—转动半径 T=(m.R^2)/2*3.14*D*n/60/R
   电机输出转矩 
   P＝T * n / 9550或者T=9550P/n 式中， P：电机功率（单位：KW） T： 电机转矩（单位：Nm） n：电机转速（单位：转/分）

3. 转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。[1] 在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J表示，SI 单位为 kg·m²。对于一个质点，I = mr²，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
   

Answer 2

比如说第一个, 设线密度为ρ,
J = ∫(0 -> 2π) ρr(rsinθ)^2 dθ
= ρπr^3 = Mr^2 / 2
d啥, 啥就是微元...我这里是dθ, 以圆心角为参考

Answer 3

微积分吧？

Answer 4

这么多你能记住吗？？我一般都是自己算，对r^2dm求积分就行了，
r是 质量为dm的一小块到质量中心的距离。学过微积分吧？