Question

初一数学竞赛题 帮帮忙啊

一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，求这个自然数。

Answer 1

这个数是1981
要用到平方差公式，不知道有没有别的方法？
设这个数为X，平方数分别为a^2(a的平方） ,b^2（b的平方）
列方程：X-45=a^2 X+44=b^2
2式减去1式得：b^2-a^2=89
由平方差公式：b^2-a^2=(b-a)(b+a)=89
其中a,b为自然数，b-a,b+a 也是自然数。(b+a>b-a)
而89因数只有1和89
故b-a=1,b+a=89
解之得：b=45,a=44
再代入方程中得X=1981

Answer 2

设此自然数减去45后的完全平方数为X^2
那么 X^2+45+44=(X+A)^2 (A为自然数)
X^2+89=X^2+2XA+A^2
2XA=89-A^2
X=(89-A^2)/2A =89/2A-A/2,又因为X为自然数,所以89-A^2>0,89>A^2 A≤9
89-A^2>2A,A^2+2A-89<0 (A+1)^2<90<100=10^2, A<9 且A为单数
当A=1时,X=44, A=3时,X=40/3(舍弃) A=5时,X=6.4(舍弃),A=7时,X=20/7(舍弃
所以此自然数为44^2+45=1981

Answer 3

X-45=M^2 ①
X+44=N^2 ②
N^2-M^2=99 ③

所以，N^2=x+44＞x-45=M^2，∴n＞m．
由③式，89为两个自然数之积，但89为质数，它的正因数只能是1与89，于是n- m=1，n+m=89．解之，得n=45．代人②得x=45 2-44= 1981．故所求的自然数是1981

Answer 4

X^2-Y^2=45+44=89即(X+Y)(X-Y)=89=89*1所以X=45 Y=44 X^2=2025 Y^2=1936 所以此数为1981

Answer 5

假设自然数x,
x-45=p^2,x+44=q^2 ,q>p>0,整数
q^2-p^2=89 (质数）
(p+q)(q-p)=1*89
p+q=89,q-p=1
q=45,
x=45^2-44=1981

这个自然数1981