Question

已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于A，B两点

已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于A，B两点， 1，以AB为直径的圆过原点，求实数k的值 2，是否存在这样的实数k,使A，B关于直线y=1/2 *x对称？如果存在，求出k的值，不存在说明理由

Answer 1

y=kx+1与3x^2-y^2=1联立消去y得：
（3-k^2）x^2 -2kx-2=0,由韦达定理：
x1+x2=2k/(3-k^2),x1·x2=-2/（3-k^2）.
1、设A（x1，y1）、B（x2，y2），∵AB为直径的圆过原点，∴x1·x2+y1·y2=0.
其中，y1+y2=k(x1+x2)+2=6/（3-k^2）,y1·y2=(kx1+1)(kx2+1)=1.
代入得：k=±1。
2、A，B关于直线y=1/2 *x对称，则AB的斜率=-2，且A、B的中点坐标满足方程y=1/2 *x，即有y1+y2=(x1+x2)/2.
∵k=-2时，y1+y2=-6，(x1+x2)/2=2，-6≠2，∴k不存在。