Question

已知：ax=by=cz=1,求1/(1+a^4) + 1/(1+b^4) + 1/(1+c^4) + 1/(1+x^4) + 1/(1+y^4) + 1/(1+z^4)的值

竞赛题，帮个忙，要交的，谢谢

Answer 1

∵ax=by=cz=1
∴a、x；b、y； c、z三组互为倒数
∵（1/1+a*）+（1/1+x*）
=(1+a*+1+x*）/(1+a*）（1+x*）
=(2+a*+x*）/(1+a*+x*+a*x*）
=(2+a*+x*）/(2+a*+x*）=1
同理（1/1+b*）+（1/1+y*）=1
（1/1+c*）+（1/1+z*）=1
∴（1/1+a*）+（1/1+b*）+（1/1+c*）+（1/1+x*）+（1/1+y*）+（1/1+z*）
=（1/1+a*）+（1/1+x*）+（1/1+b*）+（1/1+y*）+（1/1+c*）+（1/1+z*）
=1+1+1=3

Answer 2

通过合并了同类项
将有关的待a的和x的通过ax=1
带换下
1/(1+a^4）+1/(1+x^4)=1
所以最后的答案是3

Answer 3

因为ax=by=cz=1
所以x=1/a,y=1/b,z=1/c所以
1/(1+a^4)+1/(1+b^4)+1/(1+c^4)+1/(1+x^4)+1/(1+y^4)+1/(1+z^4)
=［1/(1+a^4)+1/(1+x^4)］+［1/(1+b^4)+1/(1+y^4)］+［1/(1+c^4)+1/(1+z^4)］
=［1/(1+a^4)+1/(1+（1/a）^4)］+［1/(1+b^4)+1/(1+（1/b）^4)］+［1/(1+c^4)+1/(1+（1/c）^4)］
=(1/(1+a^4)+a^4/(1+a^4)+(1/(1+b^4)+b^4/(1+b^4))+(1/(1+c^4)+c^4/(1+c^4))
=(1+a^4)/(1+a^4)+(1+b^4)/(1+b^4)+(1+c^4)/(1+c^4)
=1+1+1
=3