Question

已知直线y=x+b与抛物线x^2=2y交于A,B两点，且OA垂直于OB（O为坐标原点），求b的取值范围

详细过程```不要用向量的方法求解

Answer 1

设交点为A(x1，y1），B（x2，y2）
x+b=x^2/2
x^2-2x-2b=0,△＞0,b＞-1／2
x1+x2=2,x1*x2=-2b
OA²＋OB²＝AB²
x1²＋y1²＋x2²＋y2²=（x1-x2）²＋（y1-y2）²
x1²＋（x1＋b）²＋x2²＋（x2＋b）²=（x1-x2）²＋（x1-x2）²
x1²＋x1²＋b²＋2x1b＋x2²＋x2²＋b²
＋2x2b=2x1²+2x2²+2b（x1+x2）＋2b²=2x1²＋2x2²-4x1x2
2b（x1+x2）＋2b²=-4x1x2
4b＋2b²=8b

b＝0或2

Answer 2

将y=x+b代入x^2=2y

x^2-2x-2b=0
x1=1+根号(2b+1)或x2=1-根号(2b+1)

y1=b+1+根号(2b+1)
y2=b+1-根号(2b+1)

根据题意：[b+1+根号(2b+1)]/[1+根号(2b+1)]*[b+1-根号(2b+1)]/[1-根号(2b+1)]=-1
[(b+1)^2-2b-1]/(1-2b-1)=-1
b^2=2b
b=0,或b=2