Question

利用二重积分求下列各曲面所围成的立体体积

由平面z=0,圆拄面x^2+y^2=ax,和旋转抛物面x^2+y^2=z所围成的立体
这题目我用极坐标算出来是(3a^4∏)/64 但答案却是(3a^4∏)/32
所以想在这里请教大家，让大家帮忙列个式子 ，然后再告诉我最后的答案 是我对还是答案错了 谢谢
我的式子是 ∫（0→∏/2）dθ∫（0→acosθ） (r^2cos^2θ+ r^2sin^2θ)•r dr算出来是(3a^4∏)/64
拜托大家了 答的好有加分哦。。谢谢

Answer 1

答案是正确的。

x^2+y^2 ≤ ax， 化成极坐标: r ≤ acosθ, -π/2 ≤ θ ≤ π/2

原式 = ∫（-π/2 → π/2）dθ ∫(0 → acosθ)r^2·rdr
= ∫（-π/2 → π/2）a^4(cosθ)^4/4 dθ （偶函数，对称区间积分）
= a^4/2 ∫（-π/2 → π/2）(cosθ)^4/4 dθ
= a^4/2 · [π/2×(3×1)/(4×2)] = 3a^4π/32

Answer 2

由x^2＋y^2≤ax得θ的范围是[－π/2，π/2]，不是[0，π/2]