Question

高二导数题

f(x)=1/4x^4+x^3-9/2x^2+cx有三个极值点
（1）证明-27<c<5
(2)若存在实数c，使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减，求a的取值范围。
第一问已经解出来了，第二问怎么做啊？

Answer 1

帮助你选择最好的答案是：
第一问，求导以后得到一个三次方程式，要使得f(x)有三个极值点，必须保证这个三次式有三个解，继续求导，也就是f(x）的二阶导数有两个解，一个是x=-3，一个是x=1，当x从负无穷增大到-3时，二阶导数大于0，f(x)的导数单调递增，从-3到1，二阶导数小于0，一阶导数递减，大于1的时候二阶导数大于0，一阶导数递增，要使得一阶导数等于0有三个解，必须保证在-3点的取值大于0，在1点的取值小于0，这样就能求出-27<c<5
既然有三个极值点，那么一阶导数等于0就有三个根，假设分别是x1，x2，x3，显然x1<-3,-3<x2<1,x3>1,而且可以得到一阶导数小于0的区间是负无穷到x1和x2到x3，显然要使得f(x)在[a,a+2]上单调递减，必须使[a,a+2]落入上述区间，如果落入第一区间，也就是负无穷到x1，那么必须保证a+2小于等于x1，也就是一阶导数在a+2处的取值小于等于0，同时，a+2小于-3。如果落入第二个区间，也就是x2到x3，那么a大于等于x2，a+2小于等于x3，也就是一阶导数在a和a+2的取值都小于0，同时a大于-3，a+2小于1.
第二好的答案：
我们设f(x)的导函数为g(x)=x^3 + 3x^2 - 9x + c
我们设g(x)的零点为x1、x2、x3
那么g(x)在(-∞,x1)上小于零 记为区间1
在（x1,x2）上大于零 记为区间2
在（x2,x3)上小于零 记为区间3
在(x3,+∞)上大于零 记为区间4
由第一题的求解可知g(x)的两个极值点为1 和 -3
要想g(x)在区间[a,a+2]上需要一直小于0，只需满足以下3个条件
1）g(a)<0 保证a在区间1或3
2）g(a+2)<0 保证a+2在区间1或3
3）a+2<-3或 a>-3 保证a与a+2之间不包含区间2
那么以上三条保证了[a,a+2]只能出现在区间1或区间3
求解以上3个条件所得的范围即是a的取值范围。
最终结果是关于C的式子，如果你用第一问的结果带入进去可以解出a的具体范围来但是不是很严密，一般应该包含c的式子。
下面的也很好的：
f`(x)=x^3+3x^2-9x+c
f``(x)=3x^2+6x-9
画出f`(x)的图像，要f(x)递减，既要f`(x)在[a,a+2]上小于0
1)若 a+2<-3
f`(a+2)<0 化简得a^3+9a^2+15a+2<-c<27 解得a<1 故a<-5
2）若 a<1<a+2 -1<a<1
f`(a+2)<0 解得a<1
f`(a）<0 解得a<3
∴-1<a<1
∴a<-5 或-1<a<1
上面的答案都不错的啦。。。。

Answer 2

我说下我的思路
(1)求导 x^3+3x^2-9x+c=0
c=9x-x^3-3x^2 令g(x)=9x-x^3-3x^2
可以进一步求函数g(x)=9x-x^3-3x^2的极大极小值
求导9-3x^2-6x=0 求出x 然后代入g(x)=9x-x^3-3x^2求出C的取值范围
(2)使导数大于0的区间 说明其原函授在此区间是增函数
f(x)有3个极大值,说明其有两个单调递减区间 求出单调区间使其满足条件
http://learning.sohu.com/20080608/n257366145_6.shtml

Answer 3

2 f`(x)=x^3+3x^2-9x+c
f``(x)=3x^2+6x-9
大致可以画出f`(x)的图像，要f(x)递减，既要f`(x)在[a,a+2]上小于0
情况1 a+2<-3
f`(a+2)<0 化简得a^3+9a^2+15a+2<-c<27 解得a<1 故a<-5
情况2 a<1<a+2 -1<a<1
f`(a+2)<0 解得a<1
f`(a）<0 解得a<3
故-1<a<1
综上，a<-5 或-1<a<1

Answer 4

这道题真的没什么意思，

我们设f(x)的导函数为g(x)=x^3 + 3x^2 - 9x + c

我们设g(x)的零点为x1、x2、x3

那么g(x)在(-∞,x1)上小于零 记为区间1
在（x1,x2）上大于零 记为区间2
在（x2,x3)上小于零 记为区间3
在(x3,+∞)上大于零 记为区间4

由第一题的求解可知g(x)的两个极值点为1 和 -3

要想g(x)在区间[a,a+2]上需要一直小于0，只需满足以下3个条件

1）g(a)<0 保证a在区间1或3
2）g(a+2)<0 保证a+2在区间1或3
3）a+2<-3或 a>-3 保证a与a+2之间不包含区间2

那么以上三条保证了[a,a+2]只能出现在区间1或区间3

求解以上3个条件所得的范围即是a的取值范围。

最终结果是关于C的式子，如果你用第一问的结果带入进去可以解出a的具体范围来但是不是很严密，一般应该包含c的式子。

这道题出的很失败滴说。。。。。。。

Answer 5

f`(x)=x^3+3x^2-9x+c
f``(x)=3x^2+6x-9
画出f`(x)的图像，要f(x)递减，既要f`(x)在[a,a+2]上小于0
1)若 a+2<-3
f`(a+2)<0 化简得a^3+9a^2+15a+2<-c<27 解得a<1 故a<-5
2）若 a<1<a+2 -1<a<1
f`(a+2)<0 解得a<1
f`(a）<0 解得a<3
∴-1<a<1
∴a<-5 或-1<a<1

Answer 6

第一问，求导以后得到一个三次方程式，要使得f(x)有三个极值点，必须保证这个三次式有三个解，继续求导，也就是f(x）的二阶导数有两个解，一个是x=-3，一个是x=1，当x从负无穷增大到-3时，二阶导数大于0，f(x)的导数单调递增，从-3到1，二阶导数小于0，一阶导数递减，大于1的时候二阶导数大于0，一阶导数递增，要使得一阶导数等于0有三个解，必须保证在-3点的取值大于0，在1点的取值小于0，这样就能求出-27<c<5

既然有三个极值点，那么一阶导数等于0就有三个根，假设分别是x1，x2，x3，显然x1<-3,-3<x2<1,x3>1,而且可以得到一阶导数小于0的区间是负无穷到x1和x2到x3，显然要使得f(x)在[a,a+2]上单调递减，必须使[a,a+2]落入上述区间，如果落入第一区间，也就是负无穷到x1，那么必须保证a+2小于等于x1，也就是一阶导数在a+2处的取值小于等于0，同时，a+2小于-3。如果落入第二个区间，也就是x2到x3，那么a大于等于x2，a+2小于等于x3，也就是一阶导数在a和a+2的取值都小于0，同时a大于-3，a+2小于1.