Question

求椭圆面积及旋转体积

1.求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的面积；(2)求分别绕轴x、y轴旋转的旋转体的体积

2.求内接于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1，二面积最大的矩形的变长；

（谢谢。。帮忙解答下，需要具体步骤说明哈）
"二面积最大的矩形的变长"改为“而面积最大的矩形的边长”

Answer 1

(1)设: X=x/a,Y=y/b
S=∫∫dxdy (其中x从-a到a,y从-b到b)
=ab∫∫dXdY (其中X从-1到1,Y从-1到1)
=ab*半径为1的圆的面积
=πab

设:椭球方程x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
再设:X=x/a,Y=y/b,Z=z/c
V=∫∫∫dxdydz (其中x从-a到a,y从-b到b,z从-c到c)
=abc∫∫∫dXdYdZ (其中X从-1到1,Y从-1到1,Z从-1到1)
=abc*半径为1的球的体积
=(4/3)πabc
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,分别绕轴x、y轴旋转的旋转体的体积
分别为:(4/3)πab^2, (4/3)πba^2

(2)设矩形在第一象限的顶点为(x,y)
S=4xy
S/(2ab)=2(x/a)(y/b)=(-x^2/a^2-y^2/b^2+2(x/a)(y/b))+1
=-((x/a)-(y/b))^2+1<=1
当x/a=y/b=1/(2)^(1/2),
即:x=((根号2)/2)a,y=((根号2)/2)b 时,面积最大
边长:(根号2)a,(根号2)b

Answer 2

你好！
S=abpi，V=4piab^2/3
注(pi=3.1415…)
如有疑问，请追问。

Answer 3

旋转体积只要延轴方向积分就可以了

Answer 4

S=abpi，V=4piab^2/3 注(pi=3.1415…)