Question

在三角形ABC中,找一点P,使PA+PB+PC最小

看不懂呀，能不能说的简略一点？

Answer 1

三角形的中线，角平分线和高线的交点与ABC的连线

Answer 2

费马点的几何确定 费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。

引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：

在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。

解法如下：分别以AB 、AC为边向外侧作正三角形ABD 、ACE 连结CD 、BE交于一点，则该点 即为所求P点。

证明：分以下三种情况讨论：

(1) 当∠BAC<120°时，如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。

∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆

∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°

同理：∠APC=∠BPC=120°

以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，

以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°

∴△APF为正三角形。∴不难发现当∠BAC=120°ABP与△ADF重合。

∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD

另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心

将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。

则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。

GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。

从而CD为最短的线段。

(2) 当∠BAC=120°时，由以上作法可知所求的点即是A点.

(3) 当∠BAC>120°时，若再按(1)中的做法，所求P点就会在△ABC的外部，这样，PA+PB+PC又会变大．故在此种情况下点A就是符合题意的点．

以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。