Question

求连续性和可导性题目

设f(X)= Ln(1+X) -1<X<=0
(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根 0<X<1

讨论f(X)在X=0处的连续性和可导性？

Answer 1

连续又可导，根据性质可知，可导必然连续，连续不一定可导。

首先我们看他们是否连续，就是X=0处的左极限是否等于右极限。
左极限：f(X)= Ln(1+X) 在x=0处的极限为：0
右极限：(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根在x=0处的极限为：0

所以f(X)在X=0处连续

根据函数在一点处可导的定义式求

定义式：f'(X0)=[f(X)-f(X0)]/（X-X0）趋近于X0时的极限值。

根据这个计算得：
[Ln(1+X)-Ln(1+0)]/（X-0）趋近于0时的极限值（根据洛必达法则）为1

同样对(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根求得：（也是根据洛必达法则）

趋近于0时的极限值为1

所以f(X)在X=0处可导

所以f(X)在X=0处连续且可导