Question

求极限：lim(3^x+4^x+5^x)^1/x

当x趋近无穷大的时候的极限。。。。

Answer 1

5^x<3^x+4^x+5^x<3*5^x.............(*)

当x>0时，(*)化为5<(3^x+4^x+5^x)^(1/x)<5*3^(1/x)
当x→+∞时，不等式左右两端极限都是5，所以
lim(3^x+4^x+5^x)^(1/x)=5,x→+∞

当x<0时，(*)化为5*3^(1/x)<(3^x+4^x+5^x)^(1/x)<5
当x→-∞时，不等式左右两端极限都是5，所以
lim(3^x+4^x+5^x)^(1/x)=5,x→-∞

总的来说lim(3^x+4^x+5^x)^(1/x)=5,x→∞

Answer 2

若x趋近于+∞
lim(3^x+4^x+5^x)^1/x=lime^[ln(3^x+4^x+5^x)/x]
=lime^[ln5^x*(3/5^x+4/5^x+1)/x]
=lime^[(ln5^x)/x+ln(3/5^x+4/5^x+1)/x]
=e^[ln5+0/x]=e^(ln5)=5
若x趋近于-∞
原式==lime^[ln3^x*(5/3^x+4/3^x+1)/x]
=lime^[(ln3^x)/x+ln(5/3^x+4/3^x+1)/x]
=e^ln3
=3
所以若x趋近于∞时极限不存在
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楼上的答案中
5^x<3^x+4^x+5^x<3*5^x在x<0时不成立